একটি গোলকীয় অবতল দর্পণের বক্রতার ব্যাস 20cm.ঐ দর্পণের ফোকাস দূরত্ব কত?

    ৬.১ চিত্রে M₁M₂ একটি সমতল দর্পণ। একটি আলোক রশ্মি P বিন্দু থেকে PO পথে এসে দর্পণের O বিন্দু হতে OQ পথে প্রতিফলিত হয়ে Q বিন্দুতে পৌঁছাল। P ও Q বিন্দু থেকে দর্পণের উপর PM₁ ও QM₂ লম্ব টানা হলো। আপতন বিন্দু O তে NO লম্ব টানা হয়। ধরা যাক, PM₁ = h₁ এবং QM₂ = h₂, OM₁ = x, M₁M₂ = d.

.. OM₂ = (d - x )

সুতরাং

   এখন ধরা যাক, P বিন্দু থেকে POQ পথে Q বিন্দুতে আসতে আলোক রশ্মির প্রয়োজনীয় সময় t এবং আলোর বেগ c। আলোক রশ্মিটির অতিক্রান্ত পথ l = PO + OQ = l₁+ l₂

 এখন, $$\begin{gathered} l_1=\sqrt{h_1^2+x^2} \\ {l}_1=\sqrt{h_2^2+(d-x{)}^2} \\ {l}_1=\sqrt{h_1^2+x^2}+l_1=\sqrt{h_2^2+(d-x{)}^2} \end{gathered}$$

   ফার্মাটের নীতি অনুসারে, দর্পণ তলে O বিন্দুটির অবস্থান এমন হবে যেন P বিন্দু থেকে Q বিন্দুতে পৌঁছাতে আলোর ভ্রমণকাল সর্বাপেক্ষা কম বা বেশি অথবা স্থির থাকবে। অন্য কথায়, আলোক রশ্মির মোট পথ l সর্বাপেক্ষা কম বা সর্বাপেক্ষা বেশি অথবা স্থির থাকবে। সকল ক্ষেত্রেই ক্যালকুলাস থেকে এই শর্তের গাণিতিক রূপ আমরা পাই,

 $\frac{dl}{dx}=0$

অতএব,

    অর্থাৎ আপতন কোণ ও প্রতিফলন কোণ পরস্পর সমান। এটাই প্রতিফলনের দ্বিতীয় সূত্র। আবার আলোকপথ POQ-এর মান সর্বাপেক্ষা কম হবে যখন PO এবং OQ সমেত তলটি M1M2 তলের উপর লম্ব হবে। পুনরায় যেহেতু অঙ্কন অনুসারে ON রেখাটি M₁ M₂ তলের উপর অভিলম্ব, সুতরাং আপতিত রশ্মি PO, প্রতিফলিত রশ্মি oQ এবং আপতন বিন্দু O-তে M₁M₂ তলের উপর অঙ্কিত অভিলম্ব NO একই সমতলে থাকবে। এটাই প্রতিফলনের প্রথম সূত্র। সুতরাং ফার্মাটের ন্যূনতম পথ বা ন্যূনতম সময়ের নীতি থেকে আলোর প্রতিফলনের সূত্রগুলো প্রতিপাদিত হলো।

ফার্মাটের নীতি ও আলোর প্রতিসরণ Fermat's Principle and Refraction of Light

    ৬.২ চিত্রে XY হচ্ছে দুটি প্রতিসারক মাধ্যমের বিভেদ তল। একটি আলোক রশ্মি প্রথম মাধ্যমের P বিন্দু থেকে PO পথে এসে বিভেদতলের O বিন্দুতে আপতিত হলো এবং সেখান থেকে O2 পথে দ্বিতীয় মাধ্যমের Q বিন্দুতে পৌঁছাল NON' হলো O বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্ব। সুতরাং আপতন কোণ PON = i এবং প্রতিসরণ কোণ N' OQ = r। P ও Q বিন্দু হতে বিভেদতলের উপর যথাক্রমে PR ও QS লম্ব টানা হলো।

 ধরা যাক, PR = h₁, QS =h₂, OR =x, RS = d এবং OS = ( d- x ) । 

  প্রথম মাধ্যমের প্রতিসরণাঙ্ক  ${\mu }_1$এবং দ্বিতীয় মাধ্যমের প্রতিসরণাঙ্ক ${\mu }_2$ | প্রথম মাধ্যমে আলোর বেগ C₁ দ্বিতীয় মাধ্যমে আলোর বেগ C₂ এবং শূন্য মাধ্যমে আলোর বেগ C₀। প্রথম মাধ্যমে আলোক রশ্মির জ্যামিতিক পথ, PO = l₁ এবং দ্বিতীয় মাধ্যমে জ্যামিতিক পথ, OQ = l₂ l 

  সুতরাং মোট জ্যামিতিক পথ POQ = l₁ + l₂ এবং মোট আলোক পথ,  =${\mu }_1$l₁ + ${\mu }_2$ |₂

 অতএব, আলোকরশ্মি P বিন্দু থেকে O বিন্দুতে পৌঁছতে প্রয়োজনীয়

অতএব,

$$\begin{gathered} sin i=\frac{RO}{PO}=\frac{x}{\sqrt{h_1^2+x^2}} \\ sin r=\frac{SO}{QO}=\frac{x}{\sqrt{h_2^2+(d-x{)}^2}} \end{gathered}$$. (6.2) 

সুতরাং (6.2) সমীকরণ দাঁড়ায়,

${\mu }_1 sin i={\mu }_2 sin r$ ..(6.3)

এটাই প্রতিসরণের দ্বিতীয় সূত্র বা স্নেলের সূত্র ।

ফার্মাটের নীতি অনুসারে আলোক পথ তখনই সর্বনিম্ন হবে যখন PO এবং OQ রশ্মিম্বর একই সমতলে থাকবে এবং যা XY তলের উপর লম্ব হবে। যেহেতু XY তলের আপতন বিন্দু O-তে অঙ্কিত NON' রেখা XY তলের উপর অভিলম্ব। সুতরাং আপতিত PO রশ্মি, প্রতিসৃত o রশ্মি ও আপতন বিন্দু O-তে অঙ্কিত NON' অভিলম্ব একই সমতলে থাকে আর এটাই প্রতিসরণের প্রথম সূত্র । 

   অতএব ফার্মাটের ন্যূনতম সময় বা ন্যূনতম পথ থেকে প্রতিসরণের সূত্রগুলো প্রতিপাদিত হলো।